上一期我們講了《河圖來到了人間》，欣賞了與之來源有關的神話傳說，然后以球體為視角推演了其繪制過程，揭開了其來源的神秘面紗。其圖像如下：

河圖中出現(xiàn)了一、二、三、四、五、六、七、八、九共9個數(shù)。上期我們講到其中的一、三、五、七稱為天數(shù)，偶數(shù)二四六八被稱為地數(shù)。

用"天"、“地”來給這九個數(shù)命名，與天并論，與地同提，足以看出"數(shù)"在遠古時代的待遇是多么的高！也可以感到到古代先民對數(shù)學的重視程度是多么的高，足以令那些“學數(shù)學無用論”者汗顏！

為此，我們要弄清河圖里面的數(shù)字奧秘，還必需分析清那個時代的數(shù)學文化氛圍，這對我們理解河圖是必需的。

上一期，我們也簡單提到中國古代先民的數(shù)字崇拜。那是一個對“數(shù)”崇拜的五體投地的時代，全民都是“數(shù)”的鐵粉。經(jīng)過長期的對時空的觀察，經(jīng)歷漫長的歷法研究后，古人的思維逐漸形成了一個思維定勢：觀察實物(具象)→抽象人工模擬物(抽象)→賦予數(shù)字之魂(數(shù)象)。比如，辦事順溜、掙錢順溜、吃飯順溜等等，可以從這些現(xiàn)象中抽象出“順利”，然后再把“順利”與數(shù)字“六”聯(lián)系起來。那么數(shù)字“六”就變成了做事順利的代名詞,民間俗語說“三六九，朝外走"就是這個意思。在那個時代，凡事都要把“數(shù)”與 “象”(自然的實象轉化為人類擬象)結合起來。“歷法”就是對天象變化用數(shù)字摹寫的成功范例。

遠古先人對數(shù)字崇拜也是有輕重的，有選擇的，也不是盲目崇拜。數(shù)字明星中也有重量級的大咖，也有打醬油的跟班。對數(shù)字的崇拜。有兩類，一類是對一至十這十個基本數(shù)字的崇拜，這十個數(shù)是十大明星，不妨稱之為國寶級。在中國人心目中，這些國寶級數(shù)字除了具有數(shù)學意義外, 還具有美學意義、祥瑞意義、世界觀及宇宙觀意義等, 每個基本數(shù)字都是完美數(shù)、吉利數(shù)、理想數(shù)、大智慧數(shù), 細說起來都含義無窮！第二類是由國寶級的數(shù)字經(jīng)過經(jīng)過某種特殊組合后，再經(jīng)某種運算所得到的新數(shù)，如二、二、三相乘產(chǎn)生的十二, 由二、三、四相乘產(chǎn)生的二十四, 四七產(chǎn)生的二十八, 六六產(chǎn)生的三十六, 七七產(chǎn)生的四十九,八八產(chǎn)生的六十四, 九九產(chǎn)生的八十一, 由十產(chǎn)生的百、千、萬等。

有了以上歷史背景的分析。我們再來看河圖上的九個數(shù)，就容易理解它們在遠古先人心目中到底處于什么位置了。這九個數(shù)，除了可以從天地數(shù)的角度來表達外，還可分為以下三類。

圓數(shù): 圓數(shù)象征天, 為 3 個 “五”, 數(shù)值和為十五。

方數(shù): 方數(shù)象征地, 為六、七、八、九, 數(shù)值和為三十。(6+7+8+9=30)

柱數(shù): 象征四根柱子, 為一、二、三、四，數(shù)值和為十。（1+2+3+4=10）

河圖中總的數(shù)值之和為五十五(15+30+10=55), 它被稱為 “天地之數(shù)”(注：上期講過，中間的天五我認為應該是兩個五，這樣就是兩個天五，兩個地五，這樣來認識的話，所有數(shù)字的和應該是周數(shù)60，而不是55，那么天地之數(shù)就應該是60。當然這只是我個人理解，歷史上沒有這個說法，我目前也沒有足夠的證據(jù)，所以我保留個人意見，后面論述仍然以歷史上大多數(shù)人的理解為準，即仍然認為天地之數(shù)為55)。

這里問題來了，“圓數(shù)”、“方數(shù)”、“柱數(shù)”這樣的稱謂，遠古先人是出于什么考量呢？它們又被賦予什么“象”的意義了？

這要從遠古先人對圓與方的理解入手分析。還得要問古代數(shù)學家！

一、對“圓數(shù)”與“方數(shù)”的理解

《周髀算經(jīng)》記載了周公和商高的一段精妙對話，周公問商高的話，這里就不細說，大意請商高給他普及一下怎么測量高山之類的話，有點像國務院總理咨詢院士的場面，這段故事后面我們再專門講。

商高回答說：“數(shù)之法, 出于圓方。圓出于方, 方出于矩, 矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三, 股修四, 徑隅五。既方其外, 半之一矩。環(huán)而共盤, 得成三、四、五。兩矩共長二十有五, 是謂積矩。環(huán)矩以為圓, 合矩以為方。方屬地, 圓屬天, 天圓地方”。

我們今日來理解這段話。就是準備一個長分別為3、4、5的直角三角形(在古代，邊長為5的那邊實際不存在，僅有兩直角邊，稱為矩)。把邊長為3的邊放在地面上，以另一直角邊為旋轉軸轉一圈可以得到一個圓。把"二"個直角三角形合起來可以得到“一”個長方形。這樣算上直角三角形的三邊長的數(shù)“三”、“四”、“五”。伸出五個手指頭都能數(shù)出的五個數(shù)字就全活了。所以說“數(shù)之法出于圓方”。

“數(shù)之法出于圓方”的認識在歷法測量中有廣泛的應用。數(shù)學是其他學科的基礎，從古代就是這樣，古代天文學測量也是建立在數(shù)學基本原理之上的。現(xiàn)在想知道幾點，此時只要打開手機確認或看下手表就能知道，甚至可以精確到秒。而機械表直到1867年才傳入中國。在中國古代，時間測量主要采用的圭竿測影法。就是在地上豎直立一根桿子， 每天竿的影不僅有長度的變化, 方位也有西東的變化。其結果竿影在地上劃出了一個近似的半圓形 (另一半被黑夜所 “吞沒”)。因此古人以為這圭竿就可演示天圓地方之象。

平地上立一竿, 在陽光下就如一“矩”(竿與它的影子構成直角三角形,就是“矩”的形狀), 這樣“數(shù)之法出于圓方”自然就成為了模擬天圓地方的理論工具。天地之形象是圓方, 數(shù)之法出于圓方, 因此可用數(shù)字表示天圓地方。

平地立一根長為四尺的竿子, 竿的影在地上移動，劃出一個圓影, 可設想為是以四尺的竿子為軸進行旋轉。在轉動過程中，旋轉軸直立的四尺竿子沒有動，動的只是直角邊三尺和斜邊。也就是說“竿四末動, 而“勾三”、“弦五”的方位在變化“。于是環(huán)矩所成之圓,用“叁伍以變”之數(shù)來模擬。

這里為何用"叁"這個字呢？這個從"叁"的本身數(shù)量含義是非常難理解的。即使是理學大家朱熹，在《周易本義》中對 《系辭》傳中 的 “叄伍以變, 錯綜其數(shù)”。也是參不透是何深意，于是朱熹發(fā)感慨說: “叁伍”、“錯綜”皆古語, 而 “叁伍”猶難曉。“參伍”、“錯綜”都是古代的用語，尤其是“叁伍”這個詞更是難以理解呀！這里我個人認為，“叁”不能理解為數(shù)字的3.因為如果理解成3，那么3個五,即勾三股四的直角三角斜邊有3個位置，只能得到圓上的3個點，僅有3個位置怎么會變化出圓呢？我認為“叁”應該理解成多的意思，古人常說，“三人為眾”，往往用“叁”這個字來表述多，這樣理解的話，多個五就可以變化出圓了。這里的“叁”也是一種意象，而不能從字面理解成數(shù)量。

因為“合矩以為方”，即用兩個“矩”（就是兩個邊長分別為3、4、5的直角三角形），嘗試把兩個邊拼直拼接在一起，就像小朋友玩拼圖那樣。那么可以得到以下關系：3+3=6,3+4=7,3+5=8,4+4=8,4+5=9.由此得到六、七、八、九。用這四個數(shù)就可以去表示四個方位。《墨子迎敵》中說: “其方數(shù), 東方八, 南方七, 西方九, 北方六。”表明的也是用數(shù)字來表示方位的意思。

二、“圓數(shù)”與“方數(shù)”、“柱數(shù)”的關聯(lián)

“圓數(shù)”為5， “方數(shù)”為6、7、8、9，那么“圓數(shù)”與“方數(shù)”什么關系？如何由 “圓天” 知“方地”呢？。

要弄清“圓數(shù)”與“方數(shù)” 的關系，根據(jù)古人“近取諸身，遠取諸物”的思維習慣， 請看我們的雙手。十根手指，數(shù)后是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。其中十是兩個五，與五合起來，恰好是三個五，于是就認為“這就是叄五以變”的“圓數(shù)”。六、七、 八、九正好是 “方數(shù)”。還剩下四個：一、二、三、四，這四位仁兄，有什么含義嗎？

上一期，我們也講過渾天說和蓋天說，古人認為我們生活在有球狀穹頂?shù)那蝮w中。被天所包圍，但是天卻不塌下來，為何不塌下來呢？從房子的建造中受到啟發(fā)，房子都是有柱子支撐著屋頂, 由此觀物取象。天之所以不塌下來, 一定也是有柱子支撐著。有東南西北四個方位，于是，也認為應該有四個柱子撐著，以為一、二、三、四就是立于地, 支著天的 4 根擎天之柱, 稱為 “四柱”，因此這四個數(shù)又稱為柱數(shù)。

另外，古人也發(fā)現(xiàn)四個柱數(shù)，與四個方數(shù)借助圓數(shù)，也有下面的關系：

1(柱數(shù))+5(圓數(shù))=6(方數(shù))；2(柱數(shù))+5(圓數(shù))=7(方數(shù))；

3(柱數(shù))+5(圓數(shù))=8(方數(shù))；4(柱數(shù))+5(圓數(shù))=9(方數(shù))；

這里，圓數(shù)5猶如一個加工機器，把柱數(shù)放入其中，馬上就被加工成方數(shù)，從這個角度出發(fā)。方數(shù)是由柱數(shù)生成的，于是柱數(shù)也被稱為生數(shù)，方數(shù)也被稱為成數(shù)。

再讓我們從古人的角度，從"天"、"地"的角度再去審視“一、二、三、四、五、六、七、八、九”。環(huán)矩成一圓, 天為圓, 故 “一”為天數(shù); 合二矩成一方, 地為方, 所以 “二” 為地數(shù); 圓是三、五以變的產(chǎn)物, 故 “三”與 “五”為圓數(shù), 天為圓, 故 “三”、“五” 為天數(shù); “四”為立地之竿當然為地數(shù)。一、二、三、四都是看得見的有形之數(shù), 唯有這 “五”, 雖與天、日、地、竿相 關, 但是看不見的數(shù)。古人很可能稱其為神奇之數(shù)。這奇（qí）數(shù), 后來演變?yōu)橹竼我徊怀呻p的奇( ) 數(shù)。聯(lián)想到人的頭有 “五官”, 身有 “五體”, 手腳有 “五指”, 也是 “三五”, 更增加了“五”的神秘性。這種神秘性在五的甲骨文"

"中有所體現(xiàn)，上面一橫表示天，下面一橫表示地，中間為陰陽交叉。后面我們會講到五形，也與此有關）。利用這個“叁伍以變“的圓天之數(shù)”,通過“四柱”、 錯綜其數(shù)”， 即可求出方地之數(shù)六、七、 八、九。所謂 “錯綜其數(shù)”, 其實就是數(shù)字的交叉相合的加法。

同樣是“一、二、三、四、五、六、七、八、九”這九個數(shù)，彼此關系錯綜復雜，角度不同，關聯(lián)不同，意象也不同。本期講到的河圖上的這九個數(shù)之間的關系，也僅是掛一漏萬。請看下期：揭秘河圖數(shù)字的神秘規(guī)律(數(shù)學浮沉錄7)

本人致力于以新數(shù)學自學輔導教學法的理念進行小初高一體化課程建設，除了小初高一體化數(shù)學課程在公眾號(龍新數(shù)學：zxfd66)陸續(xù)分布外。與之相匹配的是這個《數(shù)學浮沉錄》系列，為孩子們理解數(shù)學，擴大數(shù)學視野打開另一扇窗。也為弘揚數(shù)學文化盡微薄之力。

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